De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Re: Berekening verhang van een rivier

Beschouw een willekeurig natuurlijk getal p. Beschouw vervolgens de rij met algemene term N^k waarbij n dus alle natuurlijke getallen doorloopt.
Definiëren we nu een tweede rij die bestaat uit de verschillen van de opeenvolgende termen uit de vorige rij (tweede min eerste, derde min tweede,...). Blijven we dit proces herhalen dan zien we dat de p-de rij constant is en dat alle termen gelijk zijn aan p! (p faculteit).
Wat is hiervoor de verklaring?

Antwoord

Beste Pepijn,

Jouw "tweede rij" noemen we de (eerste) verschilrij. Jouw derde rij de tweede verschilrij. Enz.

Dat is een heel leuke stelling. Toen ik zelf in zes gymnasium zat opperde een klasgenoot van mij deze ook al eens, en heb ik het met een hoop "blind" rekenwerk weten te bewijzen. Maar eigenlijk had ik toen niet de crux in de gaten, waardoor de stelling zonder al te veel rekenwerk goed te begrijpen is.

Het heeft allemaal te maken met het Het Binomium van Newton. Daaruit blijkt:

(N+1)^k = N^k + k·N^k-1 + lagere machten van N.

Dus (N+1)^k - N^k = k·N^k-1 + lagere machten van N.

We kunnen nu concluderen:

• De verschilrij van een rij met een k-de graads formule is een rij met een k-1-de graads formule.
  
• De factor voor N^k-1 in de verschilrij is k maal zo groot als factor voor N^k in de oorspronkelijke rij.

Deze conclusies tonen aan dat het herhaaldelijk verschilrijen nemen van een rij met formule N^k leidt tot een constante rij met als constante k!.

*****

Medebeantwoorder kn doet het bewijs als volgt:

Zij E de verschuivingsoperator, Ef(x)=f(x+1) en D de verschil operator, d.w.z. Df(x)=f(x+1)-f(x). Dan is D=E-1. Hieruit volgt dat

D^p(x^p)= (E-1)^p(x^p) =
S_0kp(-1)^k(kCp)E^p-k (x^p) =
S_0kp(-1)^k (kCp)(y-k)^p = p!,
met y=x+p en kCp=p boven k.

De laatste stap is te bewijzen met inductie.

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Goniometrie
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	17-5-2024